Question

已知A（

2

，0）、B（-

2

，0）兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，

PA

•

PB

=2

PQ

²．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線m過(guò)點(diǎn)A，斜率為k，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，曲線E的上支上有且僅有一點(diǎn)C到直線m的距離為

2

，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），求出題中所需要的向量代入

PA

•

PB

=2

PQ

²，即可得到x，y的關(guān)系式，即得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）設(shè)直線m：y=k（x-

2

）（0＜k＜1），依題意，點(diǎn)C在與直線m平行且與m之間的距離為

2

的直線上，設(shè)此直線為m₁：y=kx+b，利用曲線E的上支上有且僅有一點(diǎn)C到直線m的距離為

2

，可得

| 2 k+b|

k2+1

=

2

，把y=kx+b代入y²-x²=2，整理，△=4k²b²-4（k²-1）（b²-2）=0，即b²+2k²=2，求出k，b，由方程組

y= 2 5 5 x+ 10 5 y2-x2=2

求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則點(diǎn)Q（0，y），

PQ

=（-x，0），

PA

=（

2

-x，-y），

PB

=（-

2

-x，-y），

PA

•

PB

=x²-2+y²．
∵

PA

•

PB

=2

PQ

²，∴x²-2+y²=2x²，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²-x²=2．
（2）設(shè)直線m：y=k（x-

2

）（0＜k＜1），
依題意，點(diǎn)C在與直線m平行且與m之間的距離為

2

的直線上，設(shè)此直線為m₁：y=kx+b．
由

| 2 k+b|

k2+1

=

2

，即b²+2

2

kb=2．①
把y=kx+b代入y²-x²=2，整理，得（k²-1）x²+2kbx+（b²-2）=0，
則△=4k²b²-4（k²-1）（b²-2）=0，即b²+2k²=2．②
由①②，得k=

2 5

5

，b=

10

5

．
此時(shí)，由方程組

y= 2 5 5 x+ 10 5 y2-x2=2

，解得x=2

2

，y=

10

，即C（2

2

，

10

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．