Question

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若為整數(shù)，且，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），,（Ⅱ）2

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列方程組，求解即可.

（Ⅱ）將變形整理為，即（），令，，令，則，函數(shù)在單調(diào)遞增，從而確定在存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則并且，即，再判斷的單調(diào)性，確定在的最小值為，求解的最大值即可.

（Ⅰ）由，

由于的斜率為1，且過點(diǎn)得，

即解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

所以得，.

故當(dāng)時(shí)，等價(jià)于（）①

令，則

令，∵，∴

所以函數(shù)在單調(diào)遞增．

而，，所以在存在唯一的零點(diǎn)

故在存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則．

當(dāng)時(shí)，，減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，增函數(shù)；

所以在的最小值為，

又由，可得，所以，

故①等價(jià)于，故整數(shù)的最大值為2．