Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為橢圓上的三點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，當(dāng)的中點(diǎn)恰為點(diǎn)時(shí)，判斷的面積是否為常數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積是常數(shù)為，理由見解析.

【解析】

（1）由題a=再由離心率，求得c,再由，即可求得方程；（2）若點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，求得的面積為，若點(diǎn)不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理得的坐標(biāo)，弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到線的距離公式，進(jìn)而求出的面積為常數(shù)

（1）由已知易得，

∴，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）①若點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)（左頂點(diǎn)一樣），則，

∵，在線段上，

∴，此時(shí)軸，求得，

∴的面積等于.

②若點(diǎn)不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為：，，，

由得，則，，

∴的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將其代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得．

∴ ．

點(diǎn)到直線的距離，

∴的面積．

綜上可知，的面積為常數(shù)．