Question

【題目】已知指數函數y=g（x）滿足：g（3）=8，定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）確定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）若對任意的x∈[1，4]，不等式f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設g（x）=ax（a＞0且a≠1），

∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2．∴g（x）=2x．∴f（x）= ，

∵函數f（x）是定義域為R的奇函數，∴f（0）=0，∴n=1，∴f（x）= ，（x∈R）

（2）解：由（Ⅰ）知f（x）= ，易知f（x）在R上為減函數，

又f（x）是奇函數，∴f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0，∴f（2x﹣3）＞﹣f（x﹣k）=f（k﹣x），

∵f（x）在R上為減函數，由上式得2x﹣3＜k﹣x，

即對一切x∈（1，4），有3x﹣3＜k恒成立，

令m（x）=3x﹣3，x∈（1，4），

易知m（x）在（1，4）上遞增，∴m（x）＜3×4﹣3=9，

∴k≥9，即實數k的取值范圍是[9，+∞）

【解析】（1）設g（x）=ax（a＞0且a≠1），由a3=8解得a=2．故g（x）=2x ． 再根據函數是奇函數，求出n的值，得到f（x）的解析式；（2）根據函數為奇函數和減函數，轉化為即對一切x∈（1，4），有3tx﹣3＜k恒成立，再利用函數的單調性求出函數的最值即可．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．