Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²+4lnx，若存在滿足1≤x₀≤4的實(shí)數(shù)x₀，使得曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線與直線x+my-2=0垂直，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4$\sqrt{2}$，9]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，再由兩直線垂直斜率之積為-1，得到2x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$=m，再由基本不等式求出左邊的最小值，代入端點(diǎn)1和4，比較得到最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+4lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+$\frac{4}{x}$（x＞0）．
曲線f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線斜率為2x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$，
由于切線垂直于直線x+my-2=0，則有2x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$=m，
由于1≤x₀≤4，則由2x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$≥2$\sqrt{2{x}_{0}•\frac{4}{{x}_{0}}}$=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=$\sqrt{2}$∈[1，4]，取得最小值4$\sqrt{2}$；
當(dāng)x₀=4時(shí)，取得最大值9．
故m的取值范圍是[4$\sqrt{2}$，9]．
故答案為：[4$\sqrt{2}$，9]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，考查兩直線垂直的條件和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．