Question

已知函數(shù)f（x）=loga[(

1

a

-2)x+1]＞0在[1，2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：應(yīng)該分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論，確定真數(shù)的范圍，使得該對數(shù)恒為正．

解答： 解：①當a＞1時，要使f（x）恒為正，只需真數(shù)（

1

a

-2）x+1當x∈[1，2]時恒大于1，
令y=（

1

a

-2）x+1，該函數(shù)在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，因此只需（

1

a

-2）×1+1＞1且（

1

a

-2）×2+1＞1，無解；
②當0＜a＜1時，要使f（x）恒為正，只需真數(shù)y=（

1

a

-2）x+1當x∈[1，2]時，在區(qū)間（0，1）內(nèi)取值，
而y=（

1

a

-2）x+1在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，所以只需0＜（

1

a

-2）×1+1＜1且0＜（

1

a

-2）×2+1＜1，解得

1

2

＜a＜

2

3

．
綜上，a的范圍是

1

2

＜a＜

2

3

．

點評：本題一方面考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，要結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象來解決問題；另一方面要注意分類討論．