Question

當m取哪些值時，直線y=x+m與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1有一個交點？有兩個交點？沒有交點？當它們有一個交點時，畫出它的圖象．

Answer 1

分析：直線與橢圓的交點適合下面方程組：

y=x+m ① x2 16 + y2 9 =1②

，①代入②得

x2

16

+

(x+m)2

9

=1，其判別式為△=576（25-m²）．由此可知直線與橢圓有一個交點的充要條件是m=±5，這時直線與橢圓相切．直線與橢圓有兩個交點的充要條件是：-m²+25＞0即|m|＜5，這時直線與橢圓相割．直線與橢圓沒有交點的充要條件是：-m²+25＜0，即|m|＞5．

解答：解：直線與橢圓的交點適合下面方程組：

y=x+m ① x2 16 + y2 9 =1②

將①代入②得

x2

16

+

(x+m)2

9

=1，
整理可得25x²+32mx+（16m²-144）=0，
其判別式為△=（32m）²-4•25•（16m²-144）=576（25-m²）
直線與橢圓有一個交點的充要條件是m=±5，
這時直線與橢圓相切．
直線與橢圓有兩個交點的充要條件是：-m²+25＞0即|m|＜5，
這時直線與橢圓相割．
直線與橢圓沒有交點的充要條件是：-m²+25＜0，即|m|＞5．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要注意公式的靈活運用．