Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+x，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-

1

2

x²+x，f′（x）=

1

x

-x+1，從而求切線方程；
（2）先求函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+x的定義域?yàn)椋?，+∞）；再求導(dǎo)f′（x）=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

；從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-

1

2

x²+x，
f′（x）=

1

x

-x+1，
故f′（1）=1-1+1=1，f（1）=0-

1

2

+1=

1

2

；
故在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為
y=x-1+

1

2

；
即2x-2y-1=0．
（2）f（x）=lnx-

1

2

ax²+x的定義域?yàn)椋?，+∞）；
f′（x）=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

；
當(dāng)a≤0時(shí)，-a≥0，f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
令

-ax2+x+1

x

=0得，
x=

1+ 1+4a

2a

；
故當(dāng)0＜x＜

1+ 1+4a

2a

時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，

1+ 1+4a

2a

）上是減函數(shù)．
當(dāng)x∈（

1+ 1+4a

2a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）在（

1+ 1+4a

2a

，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．