Question

如圖，四棱錐中，底面是矩形，底面，，點(diǎn)是側(cè)棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）利用直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，證明線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量求二面角的余弦值，注意：所求二面角是鈍角.

試題解析：（Ⅰ）由于底面

∴面面

∵面是矩形

∴

∴面

∴

而，是的中點(diǎn)

∴

∴面

（Ⅱ）分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則、、、

∴

解法一：由（1）可知是平面EBC的一個(gè)法向量

設(shè)平面ECD的一個(gè)法向量為＝（x，y，z）

由，

得

即，

可得

取y＝，得z＝2

即

解法二：

可取平面和平面的法向量分別是

而

結(jié)合圖形可知：二面角是鈍角，故余弦值是

解法三：由已知BC＝BE＝AD＝AE＝1，故CD＝DE＝AB＝

即△CBE和△CDE都是等腰三角形

取CE中點(diǎn)F，連結(jié)BD、BF、DF，

有BF⊥CE，DF⊥CE，即∠BFD為二面角B－CE－D的平面角

 

則BD＝，BF＝，DF＝

于是cos∠BFD＝

故二面角的余弦值是

考點(diǎn)：空間直線與平面垂直，二面角，空間向量