Question

(本題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=x³+ax²+(a+6)x+b(a,b∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是3，求a,b的值；
(2)若f(x)為R上的單調遞增函數(shù)，求a的取值范圍.

Answer 1

解：（1）由函數(shù)f(x)的圖象過原點，得b="0," ………………………………1分
又f′(x)=3x²+2ax+(a+6), …………………………………………………3分
f(x)在原點處的切線斜率是3，則a+6=3,所以a="-3." ………………………6分
（2）若f(x)為R上的單調遞增函數(shù)，則f′(x) 在R上恒成立.
即3x²+2ax+(a+6)≥0在R上恒成立，………………………………………8分
因此Δ≤0，有4a²-12(a+6) ≤0    ………………………………………10分
即a²-3a-18 ≤0解得……………………………………………12分

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過點P（1，2）與函數(shù)圖象在點P處的切線斜率為8，建立關于a和b的方程組，解之即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x），f(x)為R上的單調遞增函數(shù)則令f'（x）0即可求出a的范圍．
考點：本試題主要考查了導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調性之間的關系，以及利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于基礎題。
點評：解決該試題的關鍵對于導數(shù)幾何意義的運用和單調遞增時要滿足到導函數(shù)恒大于等于零來得到。