Question

7．設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線方程，由題意可得丨AB丨=$\frac{2^{2}}{a}$=2×2a，求得b²=2a²，根據(jù)雙曲線的離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得C的離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
由題意可知，將x=c代入，解得：y=±$\frac{^{2}}{a}$，
則丨AB丨=$\frac{2^{2}}{a}$，
由丨AB丨=2×2a，
則b²=2a²，
∴雙曲線離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線通徑的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．