Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（m，cos$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow$=（sin$\frac{x}{2}$，n），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，函數(shù)f（x）的圖象過點（$\frac{π}{2}$，4）和點（-$\frac{π}{2}$，0）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用“五點法”作出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的公式求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)過點，建立方程組關(guān)系求出m，n的值，利用三角函數(shù)輔助角公式即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用“五點法”求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的對應(yīng)坐標(biāo)即可作出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=msin$\frac{x}{2}$+ncos$\frac{x}{2}$，∵函數(shù)f（x）的圖象過點（$\frac{π}{2}$，4）和點（-$\frac{π}{2}$，0），π
∴msin$\frac{π}{4}$+ncos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m+$\frac{\sqrt{2}}{2}$n=4，
-msin$\frac{π}{4}$+ncos$\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m+$\frac{\sqrt{2}}{2}$n=0，
由兩式得m=2$\sqrt{2}$，n=2$\sqrt{2}$，
即f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$+2$\sqrt{2}$cos$\frac{x}{2}$=4（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos$\frac{x}{2}$）=4sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）．
（2）列表：

$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$
y	0	4	0	-4	0

作圖

點評 本題主要考查用五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖，以及三角函數(shù)解析式的求解，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式以及輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．