Question

19．若直線2ax+by-1=0（a＞-1，b＞0）經(jīng)過曲線y=cosπx+1（0＜x＜1）的對稱中心，則$\frac{1}{a+1}$+$\frac{2}$的最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 曲線y=cosπx+1（0＜x＜1）的對稱中心為$（\frac{1}{2}，1）$，可得：a+b=1．（a＞-1，b＞0）．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：曲線y=cosπx+1（0＜x＜1）的對稱中心為$（\frac{1}{2}，1）$，
∴$2a×\frac{1}{2}$+b-1=0，化為：a+b=1（a＞-1，b＞0）．
∴$\frac{1}{a+1}$+$\frac{2}$=$\frac{1}{2}$（a+1+b）$（\frac{1}{a+1}+\frac{2}）$=$\frac{1}{2}$$（3+\frac{a+1}+\frac{2（a+1）}）$≥$\frac{1}{2}$$（3+2\sqrt{\frac{a+1}•\frac{2（a+1）}}）$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=2$\sqrt{2}$-3，b=4-2$\sqrt{2}$時(shí)取等號．
故答案為：$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．