9.已知函數(shù)f(x)=lnx-$\frac{x-b}{x}$,其中b為常數(shù),且b>0.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x-y+1=0垂直,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在[1,3]上的最小值為$\frac{1}{3}$,求實(shí)數(shù)b的值.

分析 (1)利用導(dǎo)數(shù)與斜率之間的關(guān)系,知f'(1)=-1求出b值,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)分類討論b的取值范圍,從而判斷f(x)的在[1,3]上的單調(diào)性,利用單調(diào)性求函數(shù)最值;

解答 解:(1)f'(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{x-(x-b)}{{x}^{2}}$=$\frac{x-b}{{x}^{2}}$  (x>0)
因?yàn)榍y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x-y+1=0垂直,
所以f'(1)=-1,即1-b=-1,解得b=2;
令f'(x)=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$<0,結(jié)合x(chóng)>0得0<x<2.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).
(2)由f'(x)=$\frac{x-b}{{x}^{2}}$(x>0)可知,當(dāng)0<b≤1時(shí),f'(x)>0在[1,3]上恒成立,
此時(shí)f(x)在[1,3]上為增函數(shù).∴f(x)min=f(1)=b-1.
令b-1=$\frac{1}{3}$,解得b=$\frac{4}{3}$,∵$\frac{4}{3}$>1,∴舍去.
當(dāng)1<b<3時(shí),由f'(x)=0得x=b∈(1,3)
當(dāng)x∈(1,b)時(shí),f'(x)<0,∴f(x)在[1,b]上為減函數(shù);
當(dāng)x∈(b,3)時(shí),f'(x)>0,∴f(x)在[b,3]上為增函數(shù),
∴f(x)min=f(b)=lnb;
令lnb=$\frac{1}{3}$,得b=${e}^{\frac{1}{3}}$;
當(dāng)b≥3時(shí),f'(x)<0在(1,3)恒成立,此時(shí)f(x)在[1,3]上為減函數(shù).
∴f(x)min=f(3)=ln3+$\frac{3}$-1
令ln3+$\frac{3}$-1=$\frac{1}{3}$,得b=4-3ln3<2,故舍去;
綜上:b=${e}^{\frac{1}{3}}$;

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與斜率關(guān)系,直線垂直關(guān)系以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題,屬中等題.

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