Question

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若AM、AN的斜率k₁，k₂滿足k₁+k₂=m（定值m≠0），求直線l的斜率．

Answer 1

解：（1）∵橢圓離心率為，
∴，∴（2分）
又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴
解得c=1，∴（3分）
∴橢圓C的方程是…（4分）
（2）若直線l斜率不存在，顯然k₁+k₂=0不合題意 …（5分）
設(shè)直線方程為l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立方程組得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0…（7分）
∴…（8分）
∴k₁+k₂===
==k（）=-
∵k₁+k₂=m，∴-=m，
∴k=．
分析：（1）利用橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可求幾何量，從而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及k₁+k₂=m（定值m≠0），即可求直線l的斜率．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．