Question

【題目】已知橢圓，過點作圓的切線，切點分別為．直線恰好經過的右頂點和上頂點．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦， ．

①設中點分別為，證明：直線必過定點，并求此定點坐標；

②若直線， 的斜率均存在時，求由四點構成的四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ．

【解析】試題分析：(1)首先根據與圓相切的兩條直線求得點的坐標，然后求得直線的方程，由此可求得橢圓的方程；(2) ①直線斜率均存在，設出直線、的方程，然后分別聯立橢圓方程，結合韋達定理求得點的坐標，再結合中點求得斜率，從而求得定點；②將①中直線的方程代入橢圓方程中，然后將的長度表示出來，再結合基本不等式即可求出范圍．

試題解析：(1)過作圓的切線，一條切線為直線，切點.

設另一條切線為，即.

因為直線與圓相切，則，解得，所以切線方程為.

由，解得，直線的方程為,即.

令，則所以上頂點的坐標為，所以；令，則，

所以右頂點的坐標為，所以，所以橢圓的方程為.

(2) ①若直線斜率均存在，設直線,則中點. 先考慮的情形.

由得.

由直線過點，可知判別式恒成立.

由韋達定理，得，故，

將上式中的換成，則同理可得.

若，得，則直線斜率不存在. 此時直線過點.

下證動直線過定點.

② 當直線的斜率均存在且不為時，

由①可知，將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得,

所以

.

同理， ，

，

因為，當且僅當時取等號，

所以，即，

所以，由四點構成的四邊形面積的取值范圍為.