Question

設(shè)雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（b≥

2

a＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，其上的任意一點P，滿足

PF1

•

PF2

≤2a²，過F₁作垂直于雙曲線實軸的弦長為8．求雙曲線E的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：令x=-c，代入雙曲線方程得

c2

a2

-

y2

b2

=1，從而推導(dǎo)出b²=4a；設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），

PF1

=（-c-x，-y），

F2P

=（x-c，y），從而由

PF1

•

F2P

推導(dǎo)出a²=2b²，由此能求出雙曲線方程．

解答： 解：令x=-c，代入雙曲線方程得

c2

a2

-

y2

b2

=1，
故y²=b²（

c2

a2

-1）=

b2

a2

（c²-a²）=

b4

a2

，
|y|=

b2

a

=

8

2

，即有b²=4a，①
設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），

PF1

=（-c-x，-y），

F2P

=（x-c，y），

PF1

•

F2P

=-（c+x）（x-c）-y²
=-（x²-c²）-y²=c²-x²-y²
=c²-x²-[b²（

x2

a2

-1）]
=-（1+

b2

a2

）x²+c²+b²
≤c²+b²=a²+2b²=2a²，
故得a²=2b²，②
將①代入②式，得a²=8a，
即有a²-8a=a（a-8）=0，
解得a=8，b²=32，
∴雙曲線方程為

x2

64

-

y2

32

=1．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量知識和雙曲線性質(zhì)的合理運用．