Question

9．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：a+b+c≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2c}$+$\frac{^{2}{+c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$．

Answer 1

分析 由a，b，c都是正數(shù)，由$\frac{{a}^{2}}{c}$+c≥2$\sqrt{c•\frac{{a}^{2}}{c}}$=2a，求出同樣的其它的五個不等式，相加即可得到所求不等式．

解答 證明：a，b，c都是正數(shù)，
可得$\frac{{a}^{2}}{c}$+c≥2$\sqrt{c•\frac{{a}^{2}}{c}}$=2a，$\frac{^{2}}{c}$+c≥2$\sqrt{c•\frac{^{2}}{c}}$=2b，
$\frac{^{2}}{a}$+a≥2$\sqrt{a•\frac{^{2}}{a}}$=2b，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{a}•a}$=2c，
$\frac{{c}^{2}}$+b≥2$\sqrt{b•\frac{{c}^{2}}}$=2c，$\frac{{a}^{2}}$+b≥2$\sqrt{b•\frac{{a}^{2}}}$=2a，
相加，可得$\frac{{a}^{2}+^{2}}{c}$+$\frac{^{2}+{c}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}$+2（a+b+c）≥4（a+b+c），
即有a+b+c≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2c}$+$\frac{^{2}{+c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$，當且僅當a=b=c取得等號．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用基本不等式和累加法，考查推理能力，屬于中檔題．