Question

（2011•昌平區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，左焦點(diǎn)F(-

3

，0)，且離心率e=

3

2

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（M，N不是左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)知c=

3

，

c

a

 =

3

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（II）設(shè)M（x₁，y₁）  N（x₂，y₂），右頂點(diǎn)A（2，0），

AM

=(2-x1，y1 )，

AN

=(2-x2，y2)，由以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，知（2-x₂）（2-x₁）+y₁y₂=0，由y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，知4+（km-2）（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+m²=0．把y=kx+m代入橢圓方程

x2

4

+y2=1，得（

1

4

+k²）x²+2kmx+m²-1=0，再由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：（I）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
左焦點(diǎn)F(-

3

，0)，且離心率e=

3

2

，
∴c=

3

，

c

a

 =

3

2

，
∴a=2，b²=4-3=1，
∴橢圓C的方程

x2

4

+y2=1．
（II）證明：設(shè)M（x₁，y₁）  N（x₂，y₂），
右頂點(diǎn)A（2，0）

AM

=(2-x1，y1 )，

AN

=(2-x2，y2)，
∵以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，
∴（2-x₂）（2-x₁）+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
∴4+（km-2）（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+m²=0  ①
把y=kx+m代入橢圓方程

x2

4

+y2=1，
得

x2

4

+（kx+m）²=1，
整理，得（

1

4

+k²）x²+2kmx+m²-1=0，
所以x₁x₂=

m2-1

1 4 +k2

，x₁+x₂=-

2km

1 4 + k2

，②
把②入①，得
4+（km-2）•（-

2km

1 4 + k2

）+（1+k²）•

m2-1

1 4 +k2

+m²
=（5m²+16km+12k²）÷（1+4k²）
=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k²）
=0
所以m+2k=0 或者 m+

6

5

k=0
當(dāng)m+2k=0時(shí)，直線y=kx-2k恒過(guò)點(diǎn)（2，0）和A點(diǎn)重合顯然不符合
當(dāng)m+

6

5

k=0時(shí) 直線恒過(guò)點(diǎn)（

6

5

，0）符合題意
所以該定點(diǎn)坐標(biāo)就是（

6

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．