Question

12．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)G分別是BC，PC，PB的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)平面PAB∩平面PCD=1，求證：CD∥1；
（3）設(shè)H為棱PD上的動點，若EH與平面PAD所成的最大角的正切值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求二面角A-EF-G的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）要證明AE⊥PD，我們可能證明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我們只要能證明AE⊥AD即可，由于底面ABCD為菱形，故我們可以轉(zhuǎn)化為證明AE⊥BC，由此能證明AE⊥PD．
（2）推導(dǎo)出CD∥平面PAB，由平面PAB∩平面PCD=1，能證明CD∥1．
（3）AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-EF-G的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．
因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．
（2）∵AB∥CD，AB?平面PAB，CD?平面PAB，
∴CD∥平面PAB，
∵平面PAB∩平面PCD=1，∴CD∥1．
解：（3）如圖所示，設(shè)AB=2，H為PD上任意一點，連結(jié)AH、EH，由（1）知，AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)AH最短時，∠EHA最大，即當(dāng)AH⊥PD時，∠EHA最大．
此時，tan∠EHA=$\frac{AE}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{AH}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AH=$\sqrt{2}$，又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．
由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又E、F分別為BC、PC的中點，所以
A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（$\sqrt{3}$，0，0），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）.$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{EG}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}，1$），
設(shè)平面AEF的一法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取z=-1，則$\overrightarrow{m}$=（0，2，-1），

設(shè)平面EFG的一法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b+c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=-\frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{1}{2}b+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，$\sqrt{3}$），
設(shè)二面角A-EF-G的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

∴二面角A-EF-G的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

點評 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、線線的位置關(guān)系、異面直線所成角及其幾何體的體積等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題的能力．