Question

3．已知拋物線x²=4y的焦點為F，P為該拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的一個動點
（Ⅰ）當(dāng)|PF|=2時，求點P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求點P到直線y=x-10的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的定義，即可求得點P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）首先求得點P到直線y=x-10的距離d的關(guān)于a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可解得最小值．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線x²=4y的焦點為F，P為該拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的一個動點，
故設(shè)P（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），（a＞0），
∵|PF|=2，結(jié)合拋物線的定義得，$\frac{{a}^{2}}{4}$+1=2，
∴a=2，
∴點P的坐標(biāo)為（2，1）；
（Ⅱ）設(shè)點P的坐標(biāo)為P（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），（a＞0），
則點P到直線y=x-10的距離d為$\frac{|a-\frac{{a}^{2}}{4}-10|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{{a}^{2}}{4}-a+10|}{\sqrt{2}}$，
∵$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+10=$\frac{1}{4}$（a-2）²+9，
∴當(dāng)a=2時，$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+10取得最小值9，
故點P到直線y=x-10的距離的最小值=$\frac{9}{\sqrt{2}}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．