Question

15．四面體ABCD中，已知AB⊥面BCD，且∠BCD=$\frac{π}{2}$，AB=3，BC=4，CD=5．
（1）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求此四面體ABCD的體積和表面積；
（3）求此四面體ABCD的外接球半徑和內(nèi)切球半徑．

Answer 1

分析 （1）證明CD⊥平面ABC，即可證明：平面ABC⊥平面ACD；
（2）利用體積、面積公式求出此四面體ABCD的體積和表面積；
（3）此四面體ABCD的外接球的球心是AD的中點(diǎn)，即可求此四面體ABCD的外接球半徑．利用等體積求出內(nèi)切球半徑．

解答 （1）證明：∵AB⊥面BCD，CD?面BCD，
∴AB⊥CD，
∵∠BCD=$\frac{π}{2}$，
∴CD⊥BC，
∵AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
∵CD?平面ACD，
∴平面ABC⊥平面ACD；
（2）解：此四面體ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×5×3$=10
表面積S=$\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×\sqrt{16+25}+\frac{1}{2}×4×5+\frac{1}{2}×5×5$=$\frac{57}{2}+\frac{3\sqrt{41}}{2}$；
（3）解：此四面體ABCD的外接球的球心是AD的中點(diǎn)，半徑為$\frac{1}{2}$$\sqrt{9+16+25}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則$\frac{1}{3}•$（$\frac{57}{2}+\frac{3\sqrt{41}}{2}$）r=10，
∴r=$\frac{19-\sqrt{41}}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查幾何體的體積、表面積的計(jì)算，考查四面體ABCD的外接球半徑和內(nèi)切球半徑．屬于中檔題．