Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2，3），C（5，6），若在以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓上存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得$\overrightarrow{PA}$-2$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，則r的取值范圍為[$\frac{3}{5}$$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 求出|PC|=3$\sqrt{2}$，設(shè)PB=x，則3$\sqrt{2}$-r＜x≤3$\sqrt{2}$+r，由割線定理可得$\frac{2}{3}$x²=（3$\sqrt{2}$-r）（3$\sqrt{2}$+r）=18-r²，即可求出r的取值范圍．

解答 解：∵點(diǎn)P（2，3），C（5，6），
∴|PC|=3$\sqrt{2}$，
設(shè)PB=x，則3$\sqrt{2}$-r＜x≤3$\sqrt{2}$+r，
∵向量$\overrightarrow{PA}$-2$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴由割線定理可得$\frac{2}{3}$x²=（3$\sqrt{2}$-r）（3$\sqrt{2}$+r）=18-r²，
∴$\frac{2}{3}$（3$\sqrt{2}$-r）²＜18-r²≤$\frac{2}{3}$（3$\sqrt{2}$+r）²，
∴r的取值范圍為r∈[$\frac{3}{5}$$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）．
故答案為：[$\frac{3}{5}$$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查割線定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．