Question

20．已知△ABC的邊BC上一動點D滿足$\overrightarrow{CD}$=n$\overrightarrow{DB}$（n∈N^*），$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，則數(shù)列{（n+1）x}的前n項和為（　�。�

• A． $\frac{1}{n+1}$
• B． $\frac{n}{n+1}$
• C． $\frac{1}{2}n（n+1）$
• D． $\frac{1}{2}（n+1）（n+2）$

Answer 1

分析 通過$\overrightarrow{CD}$=n$\overrightarrow{DB}$（n∈N^*）可知$\overrightarrow{AD}$=$\frac{n}{n+1}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{n+1}$$\overrightarrow{AC}$，與$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$比較可得x=$\frac{n}{n+1}$，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow{CD}$=n$\overrightarrow{DB}$（n∈N^*），
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{n}{n+1}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{n+1}$$\overrightarrow{AC}$，
又∵$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴x=$\frac{n}{n+1}$，
∴數(shù)列{（n+1）x}是首項、公差均為1的等差數(shù)列，
∴則數(shù)列{（n+1）x}的前n項和為$\frac{n（n+1）}{2}$，
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．