Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．

（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求不等式f（x）≥1的解集；

（Ⅱ）若x∈R，t∈R，使得f（x）+|t-1|＜|t+1|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）[-2，-]；（Ⅱ）0＜m＜1

【解析】

（Ⅰ）分段去絕對(duì)值解不等數(shù)組后在相并可得；

（Ⅱ）f（x）+|t-1|＜|t+1|f（x）＜|t+1|-|t-1|對(duì)任意x∈R恒成立，對(duì)實(shí)數(shù)t有解．

再利用分段函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的最大值，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|t+1|-|t-1|的最大值，然后將問題轉(zhuǎn)化為f（x）的最大值＜（|t+1|-|t-1|）的最大值可得．

（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，|x-1|-|2x+2|≥1或或，

解得-2≤x≤-，所以原不等式的解集為[-2，-]．

（Ⅱ）f（x）+|t-1|＜|t+1|f（x）＜|t+1|-|t-1|對(duì)任意x∈R恒成立，對(duì)實(shí)數(shù)t有解．

∵f（x）=，

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可知：x=-m時(shí)，f（x）取得最大值f（-m）=2m，

∵||t+1|-|t-1||≤|（t+1）-（t-1）|=2，

∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2，即|t+1|-|t-1|的最大值為2．

所以問題轉(zhuǎn)化為2m＜2，解得0＜m＜1．