Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-1），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$-2．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，其中A為銳角，a=$\sqrt{3}$，c=1，且f（A）=1，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x），再求出f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)f（A）=1求出A的值，再由正弦定理求出C的值，得出△ABC為Rt△，從而求出△ABC的面積．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-1），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），
所以函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$-2
=sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）+（-1）×（-$\frac{3}{2}$）-2
=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為T(mén)=π，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z；
（2）△ABC中，A為銳角，a=$\sqrt{3}$，c=1，
且f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
即2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴A=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即A=$\frac{π}{3}$；
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
解得sinC=$\frac{1}{2}$，
又a＞c，∴C=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC為Rt△，
∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及正弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．