Question

8．已知函數(shù)f（x）=5sin（x+$\frac{π}{3}$）-acos²（x+$\frac{π}{3}$）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，-2）
（1）求a的值
（2）若函數(shù)定義域是R，求函數(shù)的最大值及此時(shí)x的取值集合
（3）若函數(shù)定義域是[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，-2）代入函數(shù)式，能求出a=2
（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出f（x）=2[sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{5}{4}$]²-$\frac{41}{8}$，由此利用正弦函數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)的最大值及此時(shí)x的取值集合．
（3）定義域是[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，先求出x+$\frac{π}{3}$的范圍，再求出sin（x+$\frac{π}{3}$）的范圍，由此能求出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=5sin（x+$\frac{π}{3}$）-acos²（x+$\frac{π}{3}$）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，-2），
∴點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，-2）代入函數(shù)式得：
f（-$\frac{π}{3}$）=5sin0-acos²0=-a=-2
解得a=2
（2）f（x）=5sin （x+$\frac{π}{3}$）-2cos²（ x+$\frac{π}{3}$）
=5sin （x+$\frac{π}{3}$）-2+2sin²（x+$\frac{π}{3}$）
=2[sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{5}{4}$]²-$\frac{41}{8}$，
故當(dāng)sin（x+$\frac{π}{3}$）=1時(shí)，f（x）最大值為5，
此時(shí)x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即x的取值集合為{x|x=$\frac{π}{6}$+2kπ，k屬于Z}．
（3）定義域是[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，x+$\frac{π}{3}$的范圍是[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（x+$\frac{π}{3}$）的范圍是[-$\frac{1}{2}$，1]
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-4，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最大值及對(duì)應(yīng)的x的集合的求法，考查值域的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．