Question

【題目】（1）求證：正三角形各頂點(diǎn)到其外接圓上任一切線的距離之和為定值；

（2）猜想空間命題“正四面體各頂點(diǎn)到其外接球的任一切面的距離之和為定值”是否成立？證明你的結(jié)論．注：與球只有一個(gè)公共點(diǎn)的平面叫做球的切面，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)，切點(diǎn)與球心的連線垂直于切面．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）如圖，設(shè)正外接圓的圓心為，半徑為，任意一條切線為，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．則為的中點(diǎn)，且．

一般地，用記號(hào)表示點(diǎn)到切線的距離．則，，

得（定值）．

（2）結(jié)論是肯定的．證明如下：

如圖，作正四面體的外接正方體，在正四面體中，、分別是線段、的中點(diǎn)，是的中心，是正四面體的外接球的球心．則、、三點(diǎn)共線，且為線段的中點(diǎn)（是正方體的中心，、分別是正方體上、下兩面的中心，是正方體主對(duì)角線的）．

用記號(hào)表示點(diǎn)到切面的距離，用表示外接球的半徑長．則

，，，

得 （定值）．