Question

10．已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{2}$）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）=f（x+$\frac{π}{4}$）+f（x+$\frac{3π}{4}$）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用條件求得f（$\frac{π}{2}$）的值．
（Ⅱ）利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，可得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（Ⅲ）由條件利用兩角和的余弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的值域求得g（x）取得最小值

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=sinx+cosx，∴f（$\frac{π}{2}$）=sin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=1．   
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），所以函數(shù)f（x）的最小正周期為2π．
（Ⅲ）因?yàn)間（x）=f（x+$\frac{π}{4}$）+f（x+$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{2}$）+$\sqrt{2}$sin（x+π）=$\sqrt{2}$（cosx-sinx）=2cos（x+$\frac{π}{4}$），
所以當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=2kπ+π，k∈Z時(shí)，即x=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的三角公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．