Question

5．已知雙曲線Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率e=$\sqrt{3}$，雙曲線Γ上任意一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最小距離為$\sqrt{3}$-1．
（Ⅰ）求雙曲線Γ的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（1，1）是否存在直線l，使直線l與雙曲線Γ交于R、T兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段RT的中點(diǎn)？若直線l存在，請求直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和當(dāng)P為右頂點(diǎn)時(shí)，可得PF取得最小值，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（1，1）假設(shè)存在直線l，使直線l與雙曲線Γ交于R、T兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段RT的中點(diǎn)．設(shè)R（x₁，y₁），T（x₂，y₂），代入雙曲線的方程兩式相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，由點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程，代入雙曲線的方程，運(yùn)用判別式檢驗(yàn)即可判斷存在性．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
當(dāng)P為右頂點(diǎn)時(shí)，可得PF取得最小值，
即有c-a=$\sqrt{3}$-1，
解得a=1，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（1，1）假設(shè)存在直線l，使直線l與雙曲線Γ交于R、T兩點(diǎn)，
且點(diǎn)P是線段RT的中點(diǎn)．
設(shè)R（x₁，y₁），T（x₂，y₂），可得x₁²-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=1，x₂²-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$=1，
兩式相減可得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$（y₁-y₂）（y₁+y₂），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
可得直線l的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2，
即有直線l的方程為y-1=2（x-1），即為y=2x-1，
代入雙曲線的方程，可得2x²-4x+3=0，
由判別式為16-4×2×3=-8＜0，
可得二次方程無實(shí)數(shù)解．
故這樣的直線l不存在．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和雙曲線的性質(zhì)，考查直線的存在性問題的解法，注意運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線的斜率公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．