Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的左右焦點分別為、，由4個點、、和組成一個高為，面積為的等腰梯形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線和橢圓交于、兩點，求面積的最大值．

Answer 1

（1）（2）取最大值3.

試題分析：解：（1）由條件，得b=，且，
所以a+c=3.                                        2分
又，解得a=2，c=1.                      
所以橢圓的方程.                        4分
（2）顯然，直線的斜率不能為0，設直線方程為x=my-1，直線與橢圓交于A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂).
聯(lián)立方程   ，消去x得,  ，
因為直線過橢圓內(nèi)的點，無論m為何值，直線和橢圓總相交.
               6分
=                   8分
                           10分
令,設,易知時,函數(shù)單調(diào)遞減, 函數(shù)單調(diào)遞增
所以   當t==1即m=0時，
取最大值3.                                       12分
點評：解決的關鍵是根據(jù)橢圓的性質(zhì)來得到其方程，以及根據(jù)聯(lián)立方程組的思想來得到面積的表示，屬于基礎題。