Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2。

(1)求證：CE∥平面PAB;

(2)求四面體PACE的體積.

 

Answer 1

(1)詳見(jiàn)解析；(2)

【解析】

試題分析：(1)要證CE∥平面PAB，可以轉(zhuǎn)換為證明，而要證明又可轉(zhuǎn)化為與（另外也可以轉(zhuǎn)化為線線平行） ；(2)要求四面體PACE的體積，可轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)求以E為頂點(diǎn)PAC為底面的三棱錐的體積.

試題解析：(1)法一：取AD得中點(diǎn)M，連接EM,CM.

則EM//PA 1分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719484084572977/SYS201411171948436114272206_DA/SYS201411171948436114272206_DA.007.png">

所以， 2分

在中，

所以，

而,所以,MC//AB. 3分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719484084572977/SYS201411171948436114272206_DA/SYS201411171948436114272206_DA.013.png">

所以， 4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719484084572977/SYS201411171948436114272206_DA/SYS201411171948436114272206_DA.015.png">

所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719484084572977/SYS201411171948436114272206_DA/SYS201411171948436114272206_DA.017.png"> 6分

法二： 延長(zhǎng)DC,AB,交于N點(diǎn)，連接PN. 1分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719484084572977/SYS201411171948436114272206_DA/SYS201411171948436114272206_DA.018.png">

所以，C為ND的中點(diǎn). 3分

因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以，EC//PN

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719484084572977/SYS201411171948436114272206_DA/SYS201411171948436114272206_DA.019.png">

6分

（2）法一：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 7分

因?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719484084572977/SYS201411171948436114272206_DA/SYS201411171948436114272206_DA.022.png">，所以， 8分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719484084572977/SYS201411171948436114272206_DA/SYS201411171948436114272206_DA.024.png">

所以， 10分

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)

所以點(diǎn)E平面PAC的距離 ，

所以，四面體PACE的體積 12分

法二：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=

因?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719484084572977/SYS201411171948436114272206_DA/SYS201411171948436114272206_DA.030.png">

所以， 10分

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)

所以，四面體PACE的體積 12分

考點(diǎn)：(1)空間位置關(guān)系的證明；（2）三棱錐求體積.