Question

15．已知c＞0，設命題p：函數y=c^x為減函數，命題q：當x∈[${\frac{1}{2}$，2]時，函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立．如果命題p與命題q中有且只有一個命題為真命題，試求c的取值范圍．

Answer 1

分析 根據指數函數的圖象和性質，可求出命題p真時c的范圍，根據對勾函數的圖象和性質，可求出命題q真時c的范圍，再由p，q一真一假，可得c的取值范圍．

解答 解：若命題p：函數y=c^x為減函數為真，
則c∈（0，1），
x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$∈[2，$\frac{5}{2}$]
若命題q：當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立為真，
則2＞$\frac{1}{c}$，則c∈（$\frac{1}{2}$，+∞），
若p真q假，則c∈（0，$\frac{1}{2}$]，
若p假q真，則c∈[1，+∞），
故c的取值范圍是：（0，$\frac{1}{2}$），
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）

點評 根據指數函數的圖象和性質，可求出命題p真是c的范圍，根據對勾函數的圖象和性質，可求出命題q真是c的范圍，再由p，q一真一假，可得c的取值范圍．