Question

已知x=a₁是函數(shù)f（x）=

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x⁴+bx²+cx+d的唯一極值點(diǎn)且為最小值點(diǎn)，若存在a₂∈（a₁，a₁+1）使得f′（a₂）=0，則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）-

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x²+a₁x在（a₁，a₂）上的零點(diǎn)的說法正確的是（　�。�

• A、至多只有一個(gè)零點(diǎn)
• B、只有唯一的零點(diǎn)
• C、可能存在兩個(gè)零點(diǎn)
• D、可能存在四個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意求導(dǎo)f′(x)=x3+2bx+c=(x-a1)(x-a2)2，從而再求導(dǎo)g′(x)=f′(x)-x+a1=(x-a1)(x-a2)2-(x-a1)=(x-a1)[(x-a2)2-1]，從而由函數(shù)的零點(diǎn)判定定理確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：由題意得，
f′(x)=x3+2bx+c=(x-a1)(x-a2)2，
∴g′(x)=f′(x)-x+a1=(x-a1)(x-a2)2-(x-a1)=(x-a1)[(x-a2)2-1]，
設(shè)a₁＜x＜a₂，
∵a₁＜a₂＜a₁+1，
∴x-a₁＞0，x-a₁-1＜x-a₂
∵x-a₁-1＞-1，x-a₂＜0，
∴-1＜x-a₂＜0，得(x-a2)2＜1；
∴g′(x)=(x-a1)[(x-a2)2-1]＜0，
即函數(shù)g（x）在（a₁，a₂）上是減函數(shù)；
∴g（x）在（a₁，a₂）至多只有一個(gè)零點(diǎn)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．