Question

12．某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是0.8πr²分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米．已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm．問題：
（1）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？
（2）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最小？

Answer 1

分析 先確定利潤函數(shù)，再利用求導的方法，即可得到結論．

解答 解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是$y=f（r）=0.2×\frac{4}{3}π{r^3}-0.8π{r^2}=0.8π（{\frac{r^3}{3}-{r^2}}），0＜r≤6$
令f'（r）=0.8π（r²-2r）=0解得  r=2（r=0舍去）
當r∈（0，2）時，f'（r）＜0；當r∈（2，6）時，f'（r）＞0．
當半徑r＞2時，f'（r）＞0它表示f（r）單調遞增，即半徑越大，利潤越高；
當半徑r＜2時，f'（r）＜0它表示f（r）單調遞減，即半徑越大，利潤越低．
（1）半徑為2cm 時，利潤最小，這時f（2）＜0，
表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．
（2）半徑為6cm時，利潤最大．

點評 本題考查函數(shù)模型的建立，考查導數(shù)知識的運用，確定函數(shù)的模型是解題的關鍵．同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．