Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值為a．
（1）求a；
（2）已知兩個(gè)正數(shù)m，n滿足m²+n²=a，求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式求出f（x）的最小值，即可求出a的值；
（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出其最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x|≥|x+1-x|=1，
∴f（x）的最小值a=1．                               …（4分）
（2）由（1）知m²+n²=1≥2mn，得mn≤$\frac{1}{2}$，
則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{1}{mn}}$≥2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)．…（11分）
所以$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為2$\sqrt{2}$．                         …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式問題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．