【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中,橢圓 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為F1(﹣1,0),離心率

(1)求橢圓G 的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn),直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn),且 ,如圖所示.

①證明: ;

②求四邊形 的面積 的最大值.

【答案】(1) (2)①見解析②

【解析】試題分析:

(1)由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可求得,則,橢圓方程為;

(2)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo):Ax1,y1),Bx2,y2),Cx3y3),Dx4y4),

①聯(lián)立直線方程與橢圓的方程,結(jié)合弦長公式求得弦長,結(jié)合|AB|=|CD|得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的等式,整理所得的等式可得m1+m2=0;

②由題意求得面積函數(shù),結(jié)合均值不等式的結(jié)論可知當(dāng)2k2+1=2m12時(shí),四邊形ABCD 的面積S 的最大值為.

試題解析:

(1)設(shè)橢圓G的方程為ab>0)

∵左焦點(diǎn)為F1(﹣1,0),離心率e=c=1,a=,

b2=a2c2=1

橢圓G 的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

(2)設(shè)Ax1,y1),Bx2,y2),Cx3,y3),Dx4y4

①證明:由消去y得(1+2k2x2+4km1x+2m12﹣2=0

,

x1+x2=,x1x2=;

|AB|==2

同理|CD|=2,

|AB|=|CD|2=2,

m1m2,m1+m2=0

②四邊形ABCD 是平行四邊形,設(shè)AB,CD間的距離d=

m1+m2=0,

s=|ABd=2×

=.

所以當(dāng)2k2+1=2m12時(shí),四邊形ABCD 的面積S 的最大值為2

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B.[ ,1]
C.( ,1)
D.[ ,1)

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A.(3,+∞)
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