【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于不同兩點(diǎn),線段中點(diǎn)為,射線與拋物線交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)求面積的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)設(shè)直線方程為,代入,消去,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,再運(yùn)用代入法消去,即可得到的軌跡方程;(2)設(shè),根據(jù)(1)可得,由點(diǎn)在拋物線上,化簡(jiǎn)可得,由點(diǎn)到直線的距離公式,以及弦長(zhǎng)公式,求出的面積,再構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)即可求得的面積的最小值.
詳解:(1)設(shè)直線方程為,代入得
設(shè),則, , .
∴.
設(shè),由消去得中點(diǎn)的軌跡方程為
(2)設(shè).
∵,
∴
由點(diǎn)在拋物線上,得.
又∵
∴,點(diǎn)到直線的距離
又 .
所以, 面積
設(shè),有,故在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),因此,當(dāng)時(shí)取到最小值.
所以, 面積的最小值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù),且.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求證數(shù)列的前項(xiàng)和<2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:
甲說(shuō):“或作品獲得一等獎(jiǎng)”; 乙說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”;
丙說(shuō):“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”; 丁說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”.
若這四位同學(xué)只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是( )
A. 作品 B. 作品 C. 作品 D. 作品
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】德國(guó)數(shù)學(xué)家科拉茨年提出了一個(gè)著名的猜想:任給一個(gè)正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半(即);如果是奇數(shù),則將它乘加(即),不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算,經(jīng)過(guò)有限步后,一定可以得到.對(duì)于科拉茨猜想,目前誰(shuí)也不能證明,也不能否定.現(xiàn)在請(qǐng)你研究:如果對(duì)正整數(shù)(首項(xiàng))按照上述規(guī)則施行變換后的第項(xiàng)為(注:可以多次出現(xiàn)),則的所有不同值的個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓+=1(a>b>0)上的點(diǎn)P到左,右兩焦點(diǎn)F1,F2的距離之和為2,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若y軸上一點(diǎn)M(0,)滿足|MA|=|MB|,求直線l的斜率k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是邊長(zhǎng)為3的正方形,平面,,且,.
(1)試在線段上確定一點(diǎn)的位置,使得平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐與三棱錐中,和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,分別為的中點(diǎn),,.
(Ⅰ)試在平面內(nèi)作一條直線,當(dāng)時(shí),均有平面(作出直線并證明);
(Ⅱ)求兩棱錐體積之和的最大值.
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