Question

4．已知函數(shù)f（x）=x^m-$\frac{2}{x}$，且f（3）=$\frac{7}{3}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入法求出m的值，求出f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（3）=$\frac{7}{3}$，可知m=1，
所以函數(shù)的解析式為f（x）=x-$\frac{2}{x}$…（3分）
又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=（-x）-（-$\frac{2}{x}$）=-（x-$\frac{2}{x}$）=-f（x），由函數(shù)奇偶性定義可知，
函數(shù)f（x）=x-$\frac{2}{x}$為奇函數(shù)…（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)x₁，x₂是區(qū)間（0，+∞）上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{2}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$），…（9分）
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，1+$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
所以f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）=x-$\frac{2}{x}$在區(qū)間（0，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性問(wèn)題，考查代入求值問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．