Question

7．下列說(shuō)法：
①扇形的周長(zhǎng)為8cm，面積為4cm²，則扇形的圓心角弧度數(shù)為2rad；
②函數(shù)y=cos（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{2}$）是奇函數(shù)
③若α是第三象限角，則y=$\frac{|sin\frac{α}{2}|}{sin\frac{α}{2}}$+$\frac{|cos\frac{α}{2}|}{cos\frac{α}{2}}$的值為0或-2；
④若sinα=sinβ，則α與β的終邊相同；
⑤y=2sin$\frac{3}{2}$x在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上的最小值是-2，最大值是$\sqrt{2}$；
⑥若α、β是第一象限角且α＜β，則tanα＜tanβ；
其中正確的是①②．（寫出所有正確答案）

Answer 1

分析 ①根據(jù)扇形的面積公式和周長(zhǎng)公式進(jìn)行判斷，
②根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行判斷，
③首先，根據(jù)α是第三象限角，確定$\frac{α}{2}$的取值情況，然后，再結(jié)合三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)進(jìn)行求解即可．
④根據(jù)正弦函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．
⑤利用三角函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．
⑥利用特殊值法結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答 解：①解：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為：l半徑為r，所以2r+l=8，$\frac{1}{2}$lr=4，
所以l=4，r=2，
所以扇形的圓心角的弧度數(shù)是：$\frac{4}{2}$=2；
則扇形的圓心角弧度數(shù)為2rad；故①正確，
②函數(shù)y=cos（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{2}$）=-sin$\frac{3}{2}$x是奇函數(shù)，故②正確，
③∵α是第三象限角，∴π+2kπ＜α＜$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{2}$+kπ＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$+kπ，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，k=2n，n∈Z，$\frac{π}{2}$+2nπ＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$+2nπ，此時(shí)為第二象限角；
∴sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，∴y=$\frac{|sin\frac{α}{2}|}{sin\frac{α}{2}}$+$\frac{|cos\frac{α}{2}|}{cos\frac{α}{2}}$=0，
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k=2n+1，n∈z，$\frac{3π}{2}$+2nπ＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{7π}{4}$+2nπ，此時(shí)為第四象限角．
∴sin$\frac{α}{2}$＜0，cos$\frac{α}{2}$＞0，∴y=$\frac{|sin\frac{α}{2}|}{sin\frac{α}{2}}$+$\frac{|cos\frac{α}{2}|}{cos\frac{α}{2}}$=0，
綜上，若α是第三象限角，則y=$\frac{|sin\frac{α}{2}|}{sin\frac{α}{2}}$+$\frac{|cos\frac{α}{2}|}{cos\frac{α}{2}}$的值為0，故③錯(cuò)誤；
④若sinα=sinβ，則α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，k∈Z，則α與β的終邊相同不正確，故④錯(cuò)誤；
⑤若-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{2}$，則-$\frac{π}{2}$≤$\frac{3}{2}$x≤$\frac{3π}{4}$，
則當(dāng)$\frac{3}{2}$x=-$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值為-2，
當(dāng)$\frac{3}{2}$x=$\frac{π}{2}$，函數(shù)取得最大值，此時(shí)最大值為2，
故y=2sin$\frac{3}{2}$x在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上的最小值是-2，最大值是$\sqrt{2}$錯(cuò)誤，故⑤錯(cuò)誤；
⑥當(dāng)α=$\frac{π}{4}$，β=2π+$\frac{π}{4}$，滿足α、β是第一象限角且α＜β，則tanα=tanβ；即tanα＜tanβ不成立，故⑥錯(cuò)誤，
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．