Question

17．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x+2\\-{x^2}\end{array}\right.\begin{array}{l}，{x≤0}\\，{x＞0}\end{array}$若實數(shù)a滿足f（f（a））=2，則實數(shù)a的所有取值的和為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)的表達(dá)式先求出f（x）=2的根，然后分別討論a的取值范圍，解方程即可．

解答 解：當(dāng)x＞0時，由f（x）=2得，-x²=2，此時方程無解，
當(dāng)x≤0時，由f（x）=2得，x²+2x+2=2得x²+2x=0，得x=0或x=-2，
由f（f（a））=2，得f（a）=-2，或f（a）=0，
若a≤0，則由f（a）=-2得，a²+2a+2=-2得a²+2a+4=0，此時方程無解，
由f（a）=0得，-a²=0得a=0，
若a＞0，則由f（a）=-2得，-a²=-2得a²=2，則a=$\sqrt{2}$，
由f（a）=0得，-a²=0得a=0，此時無解，
綜上a=0或a=$\sqrt{2}$，
則實數(shù)a的所有取值的和為$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)值的求解，借助分段函數(shù)的表達(dá)式，利用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．