Question

1．四邊形ABCD為菱形，ACFE為平行四邊形，且平面ACFE⊥平面ABCD，設(shè)BD與AC相交于點G，H為FG的中點，AB=BD=2，AE=$\sqrt{3}$，CH=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求證：CH⊥平面BDF
（Ⅱ）求三棱錐B-DEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ACFE為平行四邊形，$AE=\sqrt{3}$，可得$CF=\sqrt{3}$，再由四邊形ABCD為菱形，得到△ABD是以2為邊長的等邊三角形，從而得到CG=CF，再由H為FG的中點，可得CH⊥FG，結(jié)合BD⊥AC，平面ACFE⊥平面ABCD，得到BD⊥平面ACFE，進(jìn)一步得到BD⊥CH．然后利用線面垂直的判定得CH⊥平面BDF；
（Ⅱ）連結(jié)EG，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACFE，進(jìn)一步得到BD⊥EG，BD⊥FG．然后結(jié)合已知通過求解直角三角形可得FG⊥平面BDE，再利用等積法求得三棱錐B-DEF的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵ACFE為平行四邊形，$AE=\sqrt{3}$，
∴$CF=\sqrt{3}$，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AG=CG，BG=DG，AD=AB，
∵AB=BD=2，
∴△ABD是以2為邊長的等邊三角形，則$AG=CG=\sqrt{3}$，從而CG=CF，
∵H為FG的中點，
∴CH⊥FG，
∵四邊形ABCD為菱形
∴BD⊥AC，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，
∴BD⊥平面ACFE，
∵CH?平面ACFE，
∴BD⊥CH．
∵BD∩FG=G，BD?平面BDF，F(xiàn)G?平面BDF，
∴CH⊥平面BDF；
（Ⅱ） 解：連結(jié)EG，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACFE，
∵FG?平面ACFE，EG?平面ACFE，
∴BD⊥EG，BD⊥FG．
由（Ⅰ）可知CH⊥FG，$CG=\sqrt{3}$，
∵$CH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴∠FGC=30°，
由（Ⅰ）可知CG=CF，
∴∠GFC=30°，從而∠FCG=120°，
∵ACFE為平行四邊形，
∴∠EAG=60°，
由（Ⅰ）可知AE=AG，
∴△AEG為正三角形，從而$EG=\sqrt{3}$，∠AGE=60°，
∴∠EGF=180°-30°-60°=90°，即FG⊥EG，
∵BD∩EG=G，
∴FG⊥平面BDE，
在△CFG中，$FG=2HG=2\sqrt{C{G^2}-C{H^2}}=3$，
在△BDE中，${S_{△BDE}}=\frac{1}{2}BD•EG=\sqrt{3}$，
∴${V_{B-DEF}}={V_{F-BDE}}=\frac{1}{3}{S_{△BDE}}•FG=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×3=\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了等積法求三棱錐的體積，是中檔題．