【題目】已知橢圓的離心率為,、分別為橢圓的左、右頂點,點滿足.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線經(jīng)過點且與交于不同的兩點、,試問:在軸上是否存在點,使得直線 與直線的斜率的和為定值?若存在,請求出點的坐標(biāo)及定值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) (2) ,定值為1.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)由可得,再根據(jù)離心率求得,由此可得,故可得橢圓的方程.(Ⅱ)由題意可得直線的斜率存在,設(shè)出直線方程后與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程,求出直線 與直線的斜率,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得
,根據(jù)此式的特點可得當(dāng)時,為定值.
試題解析:
(Ⅰ)依題意得、,,
∴,
解得.
∵,
∴,
∴,
故橢圓的方程為.
(Ⅱ)假設(shè)存在滿足條件的點.
當(dāng)直線與軸垂直時,它與橢圓只有一個交點,不滿足題意.
因此直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,
由消去整理得
,
設(shè)、,
則,,
∵
,
∴要使對任意實數(shù),為定值,則只有,
此時.
故在軸上存在點,使得直線與直線的斜率的和為定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為,且滿足().
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)是否存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知,,底面,且,,為的中點,在上,且.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某食品集團(tuán)生產(chǎn)的火腿按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級,等級系數(shù)依次為1,2,3,…,8,其中為標(biāo)準(zhǔn), 為標(biāo)準(zhǔn).已知甲車間執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn),乙車間執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品,且兩個車間的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).
(1)已知甲車間的等級系數(shù)的概率分布列如下表,若的數(shù)學(xué)期望E(X1)=6.4,求, 的值;
X1 | 5 | 6 | 7 | 8 |
P | 0.2 |
(2)為了分析乙車間的等級系數(shù),從該車間生產(chǎn)的火腿中隨機(jī)抽取30根,相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本如下:3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用該樣本的頻率分布估計總體,將頻率視為概率,求等級系數(shù)的概率分布列和均值;
(3)從乙車間中隨機(jī)抽取5根火腿,利用(2)的結(jié)果推斷恰好有三根火腿能達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓()的左、右焦點分別為,,過作垂直于軸的直線與橢圓在第一象限交于點,若,且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ),是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩點.若直線過點,且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與軸相切?若能,求出實數(shù),若不能,請說明理由;
(Ⅱ)求最大的整數(shù),使得對任意,不等式恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值,且導(dǎo)函數(shù)f'(x)的極值點是f(x)的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值)
(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)證明:b2>3a;
(3)若f(x),f'(x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于-,求a的取值范圍.
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【題目】甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷員,日工資方案如下: 甲公司規(guī)定底薪80元,每銷售一件產(chǎn)品提成1元; 乙公司規(guī)定底薪120元,日銷售量不超過45件沒有提成,超過45件的部分每件提成8元.
(I)請將兩家公司各一名推銷員的日工資 (單位: 元) 分別表示為日銷售件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
(II)從兩家公司各隨機(jī)選取一名推銷員,對他們過去100天的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計,得到如下條形圖。若記甲公司該推銷員的日工資為,乙公司該推銷員的日工資為 (單位: 元),將該頻率視為概率,請回答下面問題:
某大學(xué)畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘推銷員工作,如果僅從日均收入的角度考慮,請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為他作出選擇,并說明理由.
【答案】(I)見解析; (Ⅱ)見解析.
【解析】分析:(I)依題意可得甲公司一名推銷員的工資與銷售件數(shù)的關(guān)系是一次函數(shù)的關(guān)系式,而乙公司是分段函數(shù)的關(guān)系式,由此解得;(Ⅱ)分別根據(jù)條形圖求得甲、乙公司一名推銷員的日工資的分布列,從而可分別求得數(shù)學(xué)期望,進(jìn)而可得結(jié)論.
詳解:(I)由題意得,甲公司一名推銷員的日工資 (單位:元) 與銷售件數(shù)的關(guān)系式為: .
乙公司一名推銷員的日工資 (單位: 元) 與銷售件數(shù)的關(guān)系式為:
(Ⅱ)記甲公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為
122 | 124 | 126 | 128 | 130 | |
0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
記乙公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為
120 | 128 | 144 | 160 | |
0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
∴
∴僅從日均收入的角度考慮,我會選擇去乙公司.
點睛:求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為:
第一步是“判斷取值”,即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每個值所表示的意義;
第二步是“探求概率”,即利用排列組合,枚舉法,概率公式,求出隨機(jī)變量取每個值時的概率;
第三步是“寫分布列”,即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確;
第四步是“求期望值”,一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , , 分別是, 的中點.
(1)證明: ;
(2)設(shè)為線段上的動點,若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一,因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活,少開私家車,盡量選擇綠色出行方式,為預(yù)防霧霾出一份力.為此,很多城市實施了機(jī)動車車尾號限行,我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機(jī)抽查了人,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | ||||||
贊成人數(shù) |
()完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖.
()若從年齡在,的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求恰有人不贊成的概率.
()在在條件下,再記選中的人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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