Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+m，x＜0}\\{{x}^{2}-1，x≥0}\end{array}\right.$其中m＞0，若函數(shù)y=f（f（x））-1有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍是（0，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 分類討論，即可確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：1、當(dāng)x＜0時(shí)，f（f（x）=（-x+m）²-1，圖象為開(kāi)口向上的拋物線的在y軸左側(cè)的部分，頂點(diǎn)為（0，m²-1）
2、當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（f（x）=-x²+1+m，圖象為開(kāi)口向下的拋物線在0≤x＜1之間的部分，頂點(diǎn)為（0，m+1）．根據(jù)題意m＞0，所以m+1＞1
3、當(dāng)x≥1時(shí)，f（f（x）=（x²-1）²-1，圖象為開(kāi)口向上的拋物線在x=1右側(cè)的部分，頂點(diǎn)為（1，-1）
根據(jù)題意，函數(shù)y=f（f（x）-1有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即f（f（x）的圖象與y=1有3個(gè)不同的交點(diǎn)．
根據(jù)以上分析的3種情況，第2及第3種情況的圖象分別與y=1有不同的2個(gè)交點(diǎn)，所以只需要第1種情況與y=1有1個(gè)交點(diǎn)即可，所以只要m²-1＜1即可，解得m＜$\sqrt{2}$．再根據(jù)題意m＞0可得m的取值范圍為（0，$\sqrt{2}$）
故答案為（0，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．