Question

4．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過點F作x軸的垂線與雙曲線交于B，C兩點（點B在x軸上方），過點B作斜率為負數(shù)的漸近線的垂線，過點C作斜率為正數(shù)的漸近線的垂線，兩垂線交于點D，若D到直線BC的距離等于虛軸長，則雙曲線的離心率e等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出直線BD的方程，可得D的坐標，利用D到直線BC的距離對于虛軸長的2倍，可得方程，即可求出雙曲線的離心率e的值．

解答 解：由題意，B（c，$\frac{^{2}}{a}$），直線BD的方程為y-$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{a}$（x-c），
令y=0，可得x=c-$\frac{^{3}}{{a}^{2}}$，根據(jù)對稱性，可得D（c-$\frac{^{3}}{{a}^{2}}$，0），
∵D到直線BC的距離等于虛軸長的2倍，
∴$\frac{^{3}}{{a}^{2}}$=4b，∴c²-a²=4a²，
∴e=$\sqrt{5}$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的離心率e的值，考查直線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．