Question

13．已知函效f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+a）．若函數(shù)g（x）=2^x+a的圖象所過定點的縱坐標(biāo)為4．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的定義域；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)定點得出（0，a+1），即可求解a的值．
（2）利用對數(shù)定義得出$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{x+3＞0}\end{array}\right.$即-3＜x＜1
（3）換元得出u=（-x²-2x+3），x∈（-3，1），利用二次函數(shù)性質(zhì)得出u的范圍，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解．

解答 解：（1）∵函數(shù)g（x）=2^x+a的圖象所過定點的縱坐標(biāo)為4，
∴圖象所過定點（0，a+1），
a+1=4，a=3
（2）∵函效f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{x+3＞0}\end{array}\right.$即-3＜x＜1
∴函數(shù)f（x）的定義域（-3，1）
（3）函效f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+3）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²-2x+3），x∈（-3，1）
∵u=（-x²-2x+3），x∈（-3，1），u（-1）=4
∴0＜u≤4，
y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$u，u∈（0，4]，
y≥-2
即值域為：[-2，+∞）

點評 本題轉(zhuǎn)化考查了函數(shù)的定義，性質(zhì)，換元法解決函數(shù)問題，屬于綜合題目．