Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2lnx（a∈R），g（x）=2e^x+3x²（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，由x＞0，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，求得f′（x）的取值范圍，分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）令f（x）=g（x），則$a=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，φ（x）≥φ（1）=e+1，當(dāng)x→0時(shí)，φ（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，φ（x）→+∞，函數(shù)y=f（x）圖象與函數(shù)y=g（x）圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{2}{x}+2x+2a$，x∈（0，+∞），
∴$\frac{2}{x}+2x+2a$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}×2a}$+2a=4+2a，
∴f'（x）∈[4+2a，+∞），
①當(dāng)4+2a≥0，即a∈[-2，+∞）時(shí)，f'（x）≥0對?x＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）沒有極值點(diǎn)；
②當(dāng)4+2a＜0，即a∈（-∞，-2）時(shí)，方程x²+ax+1=0有兩個(gè)不等正數(shù)解x₁，x₂，
$f'（x）=\frac{2}{x}+2x+2a=\frac{{2（{x^2}+ax+1）}}{x}=\frac{{2（x-{x_1}）（x-{x_2}）}}{x}（x＞0）$，
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；x∈（x₂，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
∴x₁，x₂分別為f（x）極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，即f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)a∈[-2，+∞）時(shí)，f（x）沒有極值點(diǎn)；當(dāng)a∈（-∞，-2）時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅱ）令f（x）=g（x），得2lnx+x²+2ax=2e^x+3x²，即ax=e^x+x²-lnx，
∵x＞0，∴$a=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$，
令$φ（x）=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$（x＞0），$φ'（x）=\frac{{（{e^x}-\frac{1}{x}+2x）x-（{e^x}+{x^2}-lnx）}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）+lnx+（x-1）（x+1）}}{x^2}$，
∵x＞0，∴x∈（0，1）時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）為減函數(shù)；x∈（1，+∞）時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）為增函數(shù)，
∴φ（x）≥φ（1）=e+1，
當(dāng)x→0時(shí)，φ（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，φ（x）→+∞，
∵函數(shù)y=f（x）圖象與函數(shù)y=g（x）圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（e+1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，考查分析問題及解決問題的能力，屬于難題．