Question

13．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為120°，則|$\overrightarrow{a}$|的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$]
• B． （1，2]
• C． （1，0]
• D． [$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，如圖所示：則$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$．由$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為120°，可得∠ABC=60°，再利用正弦定理即可得出．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，
如圖所示：
則$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$．
又∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為120°，
∴∠ABC=60°
又$|\overrightarrow|$=$|\overrightarrow{AC}|$|=1
由正弦定理可得：$\frac{1}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinC}$，
可得$|\overrightarrow{a}|$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴|$\overrightarrow{a}$|的取值范圍是$（0，\frac{2\sqrt{3}}{3}]$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的三角形法則、正弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．