Question

2．設(shè)D，E是△ABC所在平面內(nèi)的兩個不同點，且$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，則$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{ABD}}$的面積比為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$可知D為BC中點，而根據(jù)$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$可知點E在邊BC上，而由$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$即可得到$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，從而得出$\frac{|\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{BD}|}=\frac{2}{3}$，這樣根據(jù)三角形面積公式即可求出$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{ABD}}$的面積比．

解答 解：根據(jù)條件，D為邊BC的中點，E在邊BC上，如圖所示：

$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}$
=$-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$；
$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{BD}|}=\frac{2}{3}$；
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ABD}}=\frac{2}{3}$．
故選B．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，以及三點共線的充要條件．