Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x+6
（Ⅰ）若f（x）在[-$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若x=3是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求f（x）在[0，a]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，利用$f'（x）在[-\frac{1}{3}，+∞]$上恒有f'（x）≥0，轉(zhuǎn)化為$3{x^2}-2ax+3≥0在[-\frac{1}{3}，+∞）$上恒成立，①△≤0，②$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ \frac{a}{3}＜-\frac{1}{3}\\ f'（-\frac{1}{3}）≥0\end{array}\right.$，求解即可．
（Ⅱ）依題意，f'（3）=0，求出a，然后求解極值點(diǎn)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，然后求解最值．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+3∵$f（x）在[-\frac{1}{3}，+∞]$上是增函數(shù)，
∴$f'（x）在[-\frac{1}{3}，+∞]$上恒有f'（x）≥0，
即$3{x^2}-2ax+3≥0在[-\frac{1}{3}，+∞）$上恒成立…（2分）
則有
①△≤0，解得-3≤a≤3…（4分）
②$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ \frac{a}{3}＜-\frac{1}{3}\\ f'（-\frac{1}{3}）≥0\end{array}\right.$
解得-5≤a＜-3
綜上-5≤a≤3…（6分）
（Ⅱ）依題意，f'（3）=0，
即3•9-6a+3=0∴a=5，∴f（x）=x³-5x²+3x+6…（8分）
令f'（x）=3x²-10x-3=0．
得${x_1}=\frac{1}{3}，{x_2}=3$，則
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	0	（0，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，3）	3	（3，5）	5
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	6	↗	$6\frac{13}{27}$	↘	-3	↗	21

…（11分）
∴f（x）在[0，5]上的最大值是f（5）=21，最小值是f（3）=-3．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．